Главная Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

0 / 0
Насколько вам понравилась эта книга?
Какого качества скаченный файл?
Скачайте книгу, чтобы оценить ее качество
Какого качества скаченные файлы?
Переводчик Д. Глебов.
Научный редактор А. Чижова.
Редактор В. Потапов.

Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии в такой увлекательной форме? «Магия математики» — та книга, о которой вы мечтали в школе. Используя множество необычных примеров — игральные карты, шарики мороженого, измерение гор, — Артур Бенджамин рассказывает вам о красоте математических формул. Все, от чего раньше голова шла кругом, теперь оказывается простым и ясным.
В книге объясняется и то, что не столь хорошо знакомо неискушенному читателю: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические свойства некоторых чисел, последовательность Фибоначчи, золотое сечение. Это расширит и обогатит ваши знания, а чем глубже вы постигаете математику, тем более захватывающей оказывается ее магия.
Год:
2016
Издательство:
Альпина Паблишер
Язык:
russian
Страницы:
342 / 346
ISBN 10:
5961455882
ISBN 13:
9785961455885
Файл:
PDF, 4,12 MB
Скачать (pdf, 4,12 MB)

Возможно Вас заинтересует Powered by Rec2Me

 

Ключевые слова

 
cos236
0 comments
 

Чтобы оставить отзыв, пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь
Вы можете оставить отзыв о книге и поделиться своим опытом. Другим читателям будет интересно узнать ваше мнение о прочитанных книгах. Независимо от того, пришлась ли вам книга по душе или нет, если вы честно и подробно расскажете об этом, люди смогут найти для себя новые книги, которые их заинтересуют.
Артур Бенджамин

МАГИЯ
МАТЕМАТИКИ
Как найти x
и зачем это нужно

Arthur Benjamin

THE
MAGIC
OF MATH
Solving for x
and Figuring Out Why

BASIC BOOKS
A Member of the Perseus Books Group
New York

Артур Бенджамин

МАГИЯ
МАТЕМАТИКИ
Как найти x
и зачем это нужно

Перевод с английского

Москва
2016

УДК 51
ББК 22.1
Б46
Переводчик Д. Глебов
Научный редактор А. Чижова
Редактор В. Потапов

Бенджамин А.
Б46

Магия математики: Как найти x и зачем это нужно / Артур Бенджамин ; Пер. с англ. — М. : Альпина Паблишер, 2016. — 342 с.
ISBN 978-5-9614-5588-5
Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии
в такой увлекательной форме? «Магия математики» — та книга, о которой
вы мечтали в школе. Используя множество необычных примеров — игральные карты, шарики мороженого, измерение гор, — Артур Бенджамин рассказывает вам о красоте математических формул. Все, от чего раньше голова шла кругом, теперь оказывается простым и ясным.
В книге объясняется и то, что не столь хорошо знакомо неискушенному
читателю: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические свойства некоторых чисел, последовательность Фибоначчи, золотое
сечение. Это расширит и обогатит ваши знания, а чем глубже вы постигаете математику, тем более захватывающей оказывается ее магия.
УДК 51
ББК 22.1

Все права защищены. Никакая часть этой книги не
может быть воспроизведена в какой бы то ни было
форме и какими бы то ни было средствами, включая
размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях,
а также запись в память ЭВМ для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. По вопросу организации доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru.

ISBN 978-5-9614-5588-5 (рус.)
ISBN 978-0-465-05472-5 (англ.)

© Arthur Benjamin, 2015
Публикуется с разрешения издательства
BASIC BOOKS, an imprint of PERSEUS
BOOKS LLC. (США) при содействии
Агентства Александра Корженевского
(Россия)
© Издание на русском языке,
перевод, оформление.
ООО «Альпина Паблишер», 2016

Эту к; нигу я посвящаю своей жене Дине
и нашим дочерям — Лорел и Ариэль

Содержание
Вступление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

Магия чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Магия алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

Магия 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4

Магия счета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5

Магия последовательности Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6

Магия доказательств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7

Магия геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8

Магия числа 

9

Магия тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10

Магия чисел i и e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11

Магия исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12

Магия бесконечности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Итого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Вступление
Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов

Не люблю длинных предисловий. Хочется сразу начать читать книгу.
Но здесь не совсем обычная книга. Кажется, что слово «магия» предполагает некоторые фокусы и трюки. Не скрою, они здесь есть, и многим
это понравится. Правда, книга не об этом.
Мы задаемся вопросом, зачем нам нужна математика. Особенно гуманитариям. Мой личный опыт научил меня определенному отношению
к этому вопросу. Навыки математического мышления оказались нужны
всем и каждому. Если вы, конечно, любите размышлять, а не зубрить.
Если вам доставляет удовольствие сам процесс логических рассуждений.
Парадокс именно в том, что магия, волшебство математики проявляется
постепенно, как рассвет. Не сразу, но заметно. Не ярко, но очень красиво.
Вдруг вы замечаете у себя умение логически мыслить и рассуждать,
грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы. Вдруг вам просто становится после этого легче общаться с людьми.
Особенно математика важна для развития ребенка. Она дает возможность сразу правильно и рационально мыслить. Причем навсегда. Мне
повезло в жизни. У меня было два прекрасных преподавателя. Оба стали
моими Учителями. Один преподавал язык и литературу и утверждал, что,
«не зная грамматики — не выучишь математики». Второй преподавал
математику и «приводил в порядок наши мысли». Они крепко дружили
между собой. И, похоже, они считали оба эти предмета волшебно полезными для нашей жизни. Одно оказалось неотделимо от другого. Особенно
сильно это проявилось позднее, когда я стал играть (иногда небезуспешно)
в различные интеллектуальные игры. Вот такая магия получилась.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

10

Мозг требует таких же тренировок, как и любая другая мышца человеческого организма. Когда-то, лет 30 назад, я работал в Федерации бодибилдинга, как смешно это ни звучит. Должен заметить, что тогда меня
сильно удивило интеллектуальное развитие спортсменов, особенно занимающих призовые места на самых престижных турнирах. Оказалось, что
для подготовки надо быть почти кандидатом медицинских наук. Ну а когда
человек начинает читать разную литературу, его любопытство направляет
ум в самые невероятные места. Призер «Мистер Олимпия» Олег Отрох
специально занимался математикой. Она помогала ему добиться нужной
концентрации. Кроме того, он был убежден, что математика защищает его
разум от всяких Паркинсонов и Альцгеймеров. Роберт Фишер — между
прочим, чемпион мира по шахматам — научился читать и писать только
потому, что иначе он не мог записывать шахматные партии, как того
требовали правила. И вот тут он открыл для себя, как помогает ему мыслить математика. Не мог оторваться до последних своих дней.
Вы еще задаетесь вопросом, зачем вам нужна математика? Особенно
гуманитариям? Выходит, не только сдачу в магазине считать. Мой личный
опыт научил меня определенному отношению к этому вопросу. Навыки
математического мышления оказались нужны всем и каждому. Вся эволюция человека от узелков на веревочках и абака до суперкомпьютеров
прошла рука об руку с математикой. Даже просто оценивая картину
в музее или памятник на улице, мы подсознательно обращаем внимание
на пропорции. Благодаря математике мы умеем видеть красоты мира
и природы. Каждый раз, выбирая смартфон или компьютер, мы невольно
оперируем математическими терминами. Мы гордимся своими селфи,
произнося слово «мегапиксели» как заклинание. Вот такая математика.
Она не только делает нас разумнее, тренирует наш мозг, развивает нас
как личность. Она просто помогает нам жить.
А магия? А что магия? Магия в книге есть. Забавная, замечательная,
необыкновенная и неожиданная. Причем даже для тех, кто полагает, что
знает эту самую математику. Хочется, чтобы вы ее тоже увидели своими
глазами. Увидели и насладились. Это очень красиво.
P.S. А парочку фокусов и трюков я все-таки запомнил.
Александр Рубин,
мзаркетолог, экономист, инженер, член российского отделения IAA, игрок
и один из основателей клуба «Что? Где? Когда?» в Днепропетровске

ГЛ А В А Н О М Е Р Н О Л Ь

Предисл0вие

Всю мою жизнь меня тянуло к магии. Не счесть, сколько кудесников
видел я на своем веку, как и не счесть, сколько чудес я сотворил собственными руками. Но я не перестаю восхищаться тем, как работает магия,
как из простых и понятных вроде бы действий и алгоритмов вдруг рождается поразительное, непостижимое искусство — искусство, которое
я так обожаю постигать. Несколько основных принципов — и вот я уже
сам придумываю трюки.
Примерно то же чувство я испытываю, когда дело касается математики. С самого детства шестым чувством я ощущал, что в числах кроется
истинная магия. Как вам, например, вот это? Задумайте любое число
в промежутке от 20 от 100. Задумали? Сложите между собой составляющие его цифры. Вычтите получившуюся сумму из задуманного вами
числа. И снова сложите цифры. Получилось 9? Если нет — перепроверьте
свои вычисления. Здорово, правда? Вся математика построена на таких
вот фокусах, о которых в школах нам почему-то не рассказывают. В этой
книжке я покажу вам, как с помощью обычных чисел, фигур и простой
логики творить настоящие чудеса. Добавим немного алгебры и геометрии, и перед нами откроются двери в производственные цеха фабрики
магии, а может, и самого человеческого естества.
Эта книжка полна чисел, алгебры и математического анализа, геометрии и тригонометрии. Но есть в ней и много такого, что не столь
хорошо знакомо неискушенному читателю и при этом не объяснено
в мельчайших подробностях: треугольник Паскаля, математическая бес-

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

12

конечность, магические свойства некоторых чисел (9, , e, i), последовательность Фибоначчи, золотое сечение... И хотя нескольких десятков
страниц будет явно недостаточно, чтобы подробно рассказать о каждом
из этих понятий, я все же надеюсь, что мне удастся объяснить вам их суть
и показать, насколько удивительными и значительными они могут быть.
И даже если вы с ними уже когда-то сталкивались, здесь вы увидите их
под немного другим углом. Это расширит и обогатит ваши знания и представления, ведь чем глубже мы постигаем математику, тем более изощренной и восхитительной предстает перед нами ее магия. Вот, например, одна из самых любимых моих формул:
ei + 1 = 0
Ее еще называют «уравнением Бога», ведь здесь используются самые
важные для математической науки числа: 0 и 1 — основы всех основ,
число  = 3,14159... — самое важное в геометрии, е = 2,71828... — константа математического анализа, и мнимая единица i, квадрат которой
равен –1. Про  мы поговорим в главе 8, про i и е — в главе 10. А в главе 11
разберемся со всем тем, что поможет нам понять магическую природу
этой формулы.
Эта книга написана для тех, кто когда-нибудь захочет пройти курс
математики, и для тех, кто сейчас проходит курс математики, или для
тех, кто только что прошел курс математики. Иными словами — абсолютно для всех, вне зависимости от того, обожаете вы математику или
боитесь ее как огня. Чтобы сделать наше общение проще, я сформулировал несколько «правил» (в математическом понимании этого слова).

Правило № 1:
Текст в серых блоках можно не читать (но только не этот)!
В каждой главе есть «отступления», в которых я рассказываю о чем-то интересном, что упомянуто в основном тексте, но в логику рассуждений не вписывается: это может быть лишний пример, подробное доказательство или
информация, рассчитанная на более искушенного читателя. При первом
чтении (равно как и при втором или третьем) вам, возможно, захочется эти
«отступления» проигнорировать. Но я очень надеюсь, что вам все же захочется перечитать эту книжку: математика — такая вещь, к которой хочется
возвращаться снова и снова.

ГЛАВА НОМЕР НОЛЬ. ПРЕДИСЛОВИЕ

13

Правило № 2. Не бойтесь пропускать отдельные абзацы, разделы
или даже главы. Если чувствуете, что застряли и никак не можете осилить ту или иную часть, смело поступайте с ней так же, как и с отступлениями — вернитесь к ним позже, со свежими силами и свежим взглядом.
В конце концов, быть может, следующая глава прольет свет на то, что
сейчас кажется непроходимой чащей? Обидно остановиться на полпути
и пропустить все самое интересное, правда?
Правило № 3. Обязательно прочитайте последнюю, главу 12. В ней
рассказано столько всего о математической бесконечности, что голова
у вас пойдет кругом, ведь в школе вас этому наверняка не учили. К тому
же, очень мало из того, что написано в главе 12, связано с предыдущими
главами. С другой стороны, «очень мало» — не значит «все», а значит,
у вас будет отличный стимул перечитать то, что осталось не до конца
понятым.
Правило № . Готовьтесь к неожиданностям. Хотя математика —
вещь очень серьезная и важная, изучать ее по учебникам, написанным
строгим и сухим языком, никакой необходимости нет. На лекциях, которые я читаю в Колледже Харви Мадда1, мне редко удается обойтись без
случайного каламбура, шутки, стихотворения, песенки или фокуса с числами — они отлично разбавляют атмосферу мрачной научной серьезности. Так почему бы не заняться тем же и на страницах этой книги?
В одном вам однозначно повезло: не нужно будет слушать, как я пою.
Чем не плюс?
Вот и все правила. Хватайте их подмышку и вперед — в удивительный
мир математической магии!

1

Колледж Харви Мадда — престижный частный колледж в Клермонте, Калифорния,
специализирующийся на точных и естественных науках. — Прим. пер.

ГЛ А В А Н О М Е Р ОД И Н

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 = 5050

Магия чисел

Числовые
закономерности
Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся
выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто
не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.
Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся
немецкий математик Карл Фридрих Гаусс1. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100.
Вряд ли он хотел развлечь учеников — скорее, отвлечь: заставить заняться
чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому
спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда
через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ — 5050.
Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа
в виде двух рядов: верхний — от 1 до 50, нижний — от 51 до 100, причем
в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

1

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — выдающийся немецкий математик, механик, физик, астроном. — Прим. ред.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

16
1
+ 100
101

2
+ 99
101

3
+ 98
101

4
+ 97
101

...
...
...

47
+ 54
101

48
+ 53
101

49
+ 52
101

50
+ 51
101

Числа от 1 до 100, записанные в два ряда.
Каждая пара дает в сумме 101

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая —
101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего
лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.
Собственно говоря, благодаря такой вот способности — не быстро
считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку — Гаусс и стал
одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз
и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают
способности умственного счета, другие — просто красивы.
Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить
сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из
них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать
сумму первых n чисел, где n — любое нужное вам количество! Некоторым
людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они
могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что
изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же
считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n
равняется 1 + 2 + 3 + ... + n.

Первая пятерка треугольных чисел: 1, 3, 6, 10 и 15

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника
основаниями друг к другу, вот так:

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

17

Сколько кружков в прямоугольнике?

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов — всего
30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется,
уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из
них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет
n × (n + 1) — ну или в более привычной записи — n(n + 1). В результате
мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых
n чисел:
1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)
2

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения
первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько
бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить
между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего
за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.
Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
А как насчет суммы первых нечетных, спросите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

18
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+5+7+9

= 1
= 4
= 9
= 16
= 25
...

Чему равна сумма первых n нечетных чисел?

То, что справа — квадраты целых чисел. 1 × 1; 2 × 2; 3 × 3 и т. д.
Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n × n. Или n2. Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития
этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое —
методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде
25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать
первые 5 нечетных чисел с 52? А просто посмотрите на квадрат размером
5 на 5:

Сколько кружков в квадрате?

Кружков в нем 5 × 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе.
Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка,
потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

19

будет соответственно 1, 3, 5, ..., (2n – 1) кружков. Это и есть формула
суммы первых n нечетных чисел
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

Отступление
Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу
решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. Почему, например, 3 × 5 = 5 × 3? Уверен,
вы никогда даже не задавались таким вопросом: просто однажды в детстве
вам сказали, что порядок чисел при умножении абсолютно не важен (математики, кстати, называют это законом коммутативности). Но почему же три
пакетика по пять жемчужин — это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон — посчитать кружки
в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда,
в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 × 5 кружков.
С другой стороны, мы можем подсчитать столбики, а не ряды: по 3 кружка
в каждом из 5 рядов, значит, всего кружков 5 × 3.

Почему 3 × 5 = 5 × 3?

Эта закономерность может привести нас к другой, еще более красивой. Раз уж мы хотим заставить числа танцевать, почему бы не сделать
это и с их квадратами?
Взгляните вот на такую пирамидку уравнений:
1+ 2
4 + 5+ 6
9 + 10 + 11 + 12
16 + 17 + 18 + 19 + 20
25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30

= 3
= 7+ 8
= 13 + 14 + 15
= 21 + 22 + 23 + 24
= 31 + 32 + 33 + 34 + 35
...

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

20

Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел
в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда — по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов — является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25...
Почему так получается? Возьмем пятый ряд. Сколько чисел ему предшествуют? Давайте сложим их количество: 3 + 5 + 7 + 9. Прибавим к ним
еще единицу, и у нас получится первое число пятого ряда — сумма первых
5 нечетных чисел, которая, как мы уже знаем, равна 52.
А теперь просчитаем пятое уравнение, ничего к нему не добавляя. Как
бы это сделал Гаусс? Если пока не обращать внимания на начальное 25,
слева у нас останется 5 чисел, каждое из которых будет ровно на 5 меньше,
чем соответствующее ему число справа.
25

26
– 31
–5

27
– 32
–5

28
– 33
–5

29
– 34
–5

30
– 35
–5

Сравнение левых и правых чисел 5 ряда

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел
слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства.
Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот
ряд можно продолжать бесконечно.

Отступление
А теперь — специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду n предшествует количество чисел, равное 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2 – 1, поэтому левая
сторона нашего уравнения должна начинаться с числа n2, за которым следует
n последовательных чисел, от n2 + 1 до n2 + n. Справа — n последовательных
чисел, начиная с n2 + n + 1, заканчивая n2 + 2n. Если мы временно «забудем»
про число n2 слева, то увидим, что каждое из n чисел справа на n больше,
чем соответствующее ему последовательное число слева. Разница при этом
составляет n × n, то есть n2. Закономерность эта компенсируется начальным n2
слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

21

Перейдем к другой закономерности. Как мы уже видели, из нечетных
чисел можно составлять квадраты. А теперь посмотрим, что произойдет,
если собрать их в один большой треугольник — вроде того, что изображен
чуть ниже.
Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 +
+ 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел!
Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:
1
3+5
7 + 9 + 11
13 + 15 + 17 + 19
21 + 23 + 25 + 27 + 29
...

= 1 = 13
= 8 = 23
= 27 = 33
= 64 = 43
= 125 = 53
...
...

Треугольник нечетных чисел

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 × 5 × 5 = 53
Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n3.
Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение?
Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине
1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2
и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5,
среднее арифметическое которых — 4, а по сторонам центра 4 ряда — 15
и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.
Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех
чисел в нем есть 53 — и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить:
все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел — 52, уравнение преобразуется в 52 + 52 + 52 +
+ 52 + 52 = 5 × 52, то есть 53. То же справедливо и в отношении 4 ряда:
среднее арифметическое всех чисел в нем — 42, их сумма — 43. Чуть-чуть
алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод,
что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n2, а их сумма равна n3,
что и требовалось доказать.
Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу
удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 13?

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

22
13 = 1 = 12
13 + 23 = 9 = 32
13 + 23 + 33 = 36 = 62
13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152
...
Сумма кубов всегда представляет собой
квадрат числа

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. —
числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. — треугольных чисел! Мы уже
знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы
этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но
в главе 6 пару доказательств увидим.

Как быстро считать в уме
Среди читателей наверняка найдутся те, кто, познакомившись с этими
примерами, скажет: «Ух ты, здорово! Но какая от всего этого польза?»
Здесь в любом математике проснулся бы художник, и в ответ вы услышали бы: «Разве нужно красоте оправдание иное, нежели сама красота?»
Ведь чем лучше мы понимаем числовые закономерности, тем глубже
постигаем их красоту. И все-таки иногда они приносят практическую
пользу.
Вот простая закономерность, которую мне посчастливилось обнаружить в юности (даже если я и не был первооткрывателем). Я смотрел
на пары чисел, которые в сумме давали 20 (10 и 10, например, или 9
и 11), и думал, а какие из них надо перемножить, чтобы получить наибольшее произведение? Логика подсказывала, что это 10 на 10, и моя
схема эта подтвердила.

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

23
Разность с 100

10 × 10
9 × 11
8 × 12
7 × 13
6 × 14
5 × 15

=
=
=
=
=
=
...

100
99
96
91
84
75

1
4
9
16
25
...

Произведения чисел, сумма которых равна 20

Эта закономерность была несомненна. Чем дальше отстояли друг от
друга числа, тем меньше становилось произведение. И насколько они
отдалялись от 100? На 1, на 4, на 9, 16, 25... То есть на 12, 22, 32, 42, 52
и т. д. А потом мне стало интересно, работает ли эта закономерность для
чисел, дающих другую сумму. Я решил попробовать 26:
Разность с 169
13 × 13
12 × 14
11 × 15
10 × 16
9 × 17
8 × 18

=
=
=
=
=
=
...

169
168
165
160
153
144

1
4
9
16
25
...

Произведения чисел, сумма которых равна 26

И я снова увидел, что наибольшее произведение дало умножение двух
одинаковых чисел. А потом произведение стало уменьшаться с интервалом сначала 1, потом 4, потом 9 и т. д. Еще несколько подобных примеров
убедили меня, что закономерность была строгой (ее алгебраическое выражение я покажу чуть позже). Выяснил я и то, что ее можно применять
для быстрого возведения чисел в квадрат.
Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать
13 × 13, можно сделать умножение попроще: 10 × 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет
прибавить возведенное в квадрат 3 — число, составляющее разницу
между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть:
132 = 10 × 16 + 32 = 160 + 9 = 169

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

24

Можно взять еще один пример, скажем, 98 × 98. Для удобства к первому числу добавим 2 до 100, а от второго отнимем 2 до 96. Значит, к их
произведению нужно будет прибавить 22. Вот наше уравнение:
982= 100 × 96 + 22 = 9600 + 4 = 9604
Особенно легко применять эту схему к числам, которые заканчиваются
на 5: если уменьшить и увеличить их на 5, оперировать придется круглыми числами. Например:
352 = 30 × 40 + 52 = 1200 + 25 = 1225
552 = 50 × 60 +52 = 3000 + 25 = 3025
852 = 80 × 90 + 52 = 7200 + 25 = 7225
Теперь попробуем возвести в уме в квадрат 59. Увеличив и уменьшив
это число на единицу, получим 592 = (60 × 58) + 12. Но как умножить
в уме 60 на 58? Простой совет из двух слов: слева направо. Забудем
на время про 0 и подсчитаем 6 × 58: 6 × 50 = 300 и 6 × 8 = 48. Потом
сложим эти два результата (опять же, слева направо) и получим 348.
И добавим ноль в конце, то есть 60 × 58 = 3480. Поэтому:
592 = 60 × 58 + 12 = 3480 + 1 = 3481

Отступление
А вот алгебраическое доказательство этого метода (перечитайте это отступление после того, как во второй главе мы поговорим о разнице квадратов):
А2 = (A + d) (A–d) + d2
где A — число, возводимое в квадрат, d — разность с ближайшим круглым
числом (формула, кстати, справедлива для любого d). Для примера возведем
в квадрат 59: А = 59, d = 1, значит, формула превращается в (59 + 1) ×
× (59 – 1) + 12, как и в предыдущем вычислении.

Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные
числа, можно попробовать и трехзначные. Если помните, 122 = 144,
значит:
1122 = (100 × 124) + 122 = 12 400 + 144 = 12 544

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

25

Есть еще одна подобная формула, которая работает для любых двух
чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком
фокусника. Вот, например, 104 × 109. Рядом с каждым из них пишем
число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом
столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат:
104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 × 9 = 36.
«Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и — тадам! —
волшебным образом получим ответ: 11 336.
104 (4)
× 109 (9)
113 36
Волшебный способ умножения чисел, близких к сотне,
здесь — 104 × 109 = 11 336

Другие примеры и алгебраическую формулу такого вычисления я приведу чуть позже, в главе 2. И, раз уж мы об этом заговорили, кое-что еще
о вычислениях в уме. Мы тратим уйму времени на то, чтобы научиться
считать столбиком, хотя научиться делать это в уме куда быстрее. Задумайтесь: как часто в обычной жизни у нас есть время и возможность
достать бумагу и провести все необходимые подсчеты? Для сложных вычислений можно воспользоваться калькулятором, но не будете же вы
доставать его в магазине, читая данные об энергетической ценности
на упаковке продуктов, или сидя в зале собрания, или дома, включив
выпуск экономических новостей. Вот здесь-то, в оценке по-настоящему
важных для вас цифр, и становятся очевидными все плюсы устного счета.
Увы, в школе нас хорошо учат считать на бумаге, со счетом в уме дела
обстоят плохо.
Строго говоря, эта тема достойна отдельной книги, но, раз уж мы
говорим о магии, а не о способностях человеческого мозга, коснемся ее
вскользь, обозначив лишь самые основные положения. Главный прием,
о котором я не устаю говорить: считайте слева направо. Подсчеты
в уме — это процесс постоянного упрощения. Вы начинаете с проблемы
огромной, неподъемной, кажущейся непомерно сложной, и расщепляете
ее на несколько элементарных и очевидных вопросов, пока не получите
искомый результат.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

26

Сложение в уме
Допустим, нам нужно подсчитать что-нибудь, вроде
314 + 159
(Я специально записываю это уравнение в одну строку, чтобы увести вас
от искушения подсчитать столбиком.) Начнем с 314, прибавив сотню,
чтобы упростить подсчеты:
414 + 59
Прибавить 50 к 414 еще проще. А затем:
464 + 9 = 473
Вот и вся суть сложения в уме. Есть еще один путь, не менее эффективный: превратить проблему сложения в более простую проблему вычитания. Способ этот хорош для подсчета цен в магазине. Возьмем,
к примеру, сложим
$23,58 + $8,95
$8,95 меньше $9 лишь на 5 центов, поэтому легче сначала прибавить
к $23,58 именно $9, а потом вычесть $0,05. И смотрите, как все сразу
упрощается:
$32,58 – $0,05 = $32,53

Вычитание в уме
Главный прием при вычитании в уме — вычитать больше, чем нужно.
Если вам нужно вычесть 9, гораздо легче вычесть 10, а потом прибавить
лишнюю единицу. Например,
83 – 9 = 73 + 1 = 74
Соответственно, если вам нужно вычесть 39, вычтите 40 и прибавьте 1.
83 – 39 = 43 + 1 = 44
С двух- или трехзначными (как, впрочем, и с бóльшими) числами
самая правильная стратегия — дополняющие числа (потом вы еще скажете
мне за это спасибо). Дополняющее число — это разность между тем числом, которым вы оперируете, и ближайшим к нему бóльшим круглым.

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

27

В принципе, то же самое, что и в нашем примере с 9: в этом случае дополняющим числом будет 1, а ближайшим круглым — 10 (как и для всех
однозначных чисел). Для двузначных чисел это будет 100. Посмотрите
на пары чисел, которые мы складываем, чтобы получить 100. Что вы
видите?
87
+ 13
100

75
+ 25
100

56
+ 44
100

92
+ 08
100

80
+ 20
100

Двузначные числа, дополняющие до 100

Дополняющее число для 87 — 13, для 75 — 25 и так далее. И наоборот:
дополняющее число для 13 — 87, а для 25 — 75. Решая каждую такую задачу слева направо, вы легко заметите, что во всех примерах (кроме последнего) сумма крайних левых чисел будет равна 9, а крайних правых —
10. Закономерность нарушается только тогда, когда числа заканчиваются
на 0 (как в последнем примере): дополняющим числом для 80 будет 20.
Применим эту стратегию к вычислению 1234 – 567. Даже вычитание
на бумаге в этом случае — не самое простое занятие, что уж говорить
про подсчет в уме. Но с дополняющими числами этот зубодробительный
пример вычитания превращается в простейший пример сложения! Вместо
того чтобы вычитать 567, вычтем 600. Это гораздо проще, особенно если
считать слева направо: 1234 – 600 = 634. Но ведь это не тот ответ, который нам нужен? Насколько не тот? Ровно на разность между 567 и 600 —
такую же, как и между 67 и 100, то есть на 33. Значит,
1234 – 567 = 634 + 33 = 667
Правда, очень просто? Потому что при сложении ничего не нужно
держать «в уме». И так просто дело будет обстоять почти всегда, когда вы
используете дополняющие числа при вычитании, пусть и трехзначные:
789
+ 211
1000

555
+ 445
1000

870
+ 130
1000

Трехзначные числа, дополняющие до 1000

В большинстве случаев (когда числа не заканчиваются на 0) сумма
«основной» и «дополнительной» цифр равна 9, за исключением последней
пары, равной 10. Например, для 789: 7 + 2 = 9; 8 + 1 = 9; 9 + 1 = 10.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

28

Следовательно, дополнительное число, считая слева направо, вычисляется так: 9 – 7 = 2, 9 – 8 = 1, 10 – 9 = 1. Метод дополнительных чисел
пригодится при подсчете сдачи. Мои любимые бутерброды в соседнем
магазине, например, стоят $6,76. Как узнать, сколько я получу, если расплачусь банкнотой в $10? Да как раз с помощью дополняющего до 1000
числа для 676 — 324. Значит, сдача будет $3,24.

Отступление
Каждый раз, покупая бутерброд, я волей-неволей замечаю, что и его цена,
и возвращаемая мне сдача представляют собой квадраты чисел (262 = 676,
а 182 = 324). Вопрос на засыпку: есть еще одна пара квадратов чисел, которые
дают в сумме 1000. Сможете их найти?

Умножение в уме
Вы не поверите, но для того, чтобы легко умножать в уме, хотя бы примерно, достаточно выучить обычную таблицу умножения. А потом — набить руку (не беспокойтесь, учить больше ничего не придется) в решении
примеров, в которых однозначное число умножается на двузначное.
И снова: главный трюк — считать слева направо. Умножая, например,
8 на 24, умножьте сначала 8 × 20, а потом — 8 × 4:
8 × 24 = 8 × 20 + 8 × 4 = 160 + 32 = 192
Хорошо потренировавшись, переходите к перемножению одно- и трехзначных чисел. Это немного сложнее — просто потому, что чуть больше
нужно держать в уме. Трюк в том, чтобы последовательно складывать
промежуточные результаты и тем самым своевременно освобождать свою
«оперативную» память. Например, при умножении 456 × 7 вашим предпоследним действием должно быть сложение 2800 + 350, а последним —
прибавление 42.
456
×
7
400 × 7 = 2800
50 × 7 = + 350
3150
6 × 7 = + 42
3192

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

29

Следующий шаг по пути мастера — операции с двузначными числами.
Как по мне, так здесь-то и начинается самое веселье, хотя бы потому, что
способов, которыми можно достичь нужного результата, много и все они
разные. Это значит, что вы можете проверить себя — и одновременно
насладиться стройностью арифметических чудес. Рассмотрим всего один
пример: 32 × 38.
Самый популярный (и наиболее близкий к подсчету в столбик) метод — это метод сложения, безотказный в решении почти любой задачи.
Он предлагает нам разбить одно из чисел (обычно то, которое состоит
из меньших цифр) надвое, умножить каждую часть на второе число, а потом сложить результаты. Например,
32 × 38 = (30 + 2) × 38 = 30 × 38 + 2 × 38 = ...
Как будем умножать 30 × 38? Сначала умножим 3 × 38, а в конце
прибавим 0. То есть 3 × 38 = 90 + 24 = 114, поэтому 30 × 38 = 1140.
А потом 2 × 38 = 60 + 16 = 76. В итоге
32 × 38 = 30 × 38 + 2 × 38 = 1140 + 76 = 1216
Другой способ решить наш пример (особенно если одно из наших
чисел заканчивается на 7, 8 или 9) — использовать метод вычитания.
Начать следует с того, что 38 = 40 – 2, а значит,
38 × 32 = 40 × 32 – 2 × 32 = 1280 – 64 = 1216
Сложность обоих методов — как сложения, так и вычитания — заключается в том, что они заставляют вас постоянно держать в голове
большие числа (вроде 1140 или 1280), одновременно делая другие вычисления. Не самая простая задача. Мне больше по душе метод разложения на сомножители, особенно полезный всякий раз, когда одно из
имеющихся у нас чисел является произведением двух однозначных чисел.
В нашем примере это 32 — произведение 8 и 4. Следовательно,
38 × 32 = 38 × 8 × 4 = 304 × 4 = 1216
Если же мы разложим 32 на 4 и 8, получим 38 × 4 × 8 = 152 × 8 = 1216,
но я лично предпочитаю умножать двузначное число сначала на больший
сомножитель, а промежуточный результат (обычно трехзначный) —
на меньший.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

30

Отступление
Метод разложения отлично работает при умножении на 11 — хотя бы потому,
что здесь есть один любопытный и при этом простой трюк: нужно просто
сложить между собой цифры первого числа и поместить сумму в его середину. Для примера умножим 53 на 11: 5 + 3 = 8, значит, ответ будет 583. А вот
27 × 11: 2 + 7 = 9, в итоге получаем 297. А если сумма больше 9, берем последнюю цифру результата сложения, а первую цифру исходного числа
увеличиваем на единицу. Например, 48 × 11: 4 + 8 = 12, значит, ответ будет 528.
По аналогии: 74 × 11 = 814. Этот трюк работает и при умножении на числа,
кратные 11, например,
74 × 33 = 74 × 11 × 3 = 814 × 3 = 2442

Другой интересный метод — метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются
с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что
38 × 32 = (30 × 40) + (8 × 2) = 1200 + 16 = 1216
Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух
чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3,
а сумма их последних цифр — 8 и 2 — равна 10). Вот еще один пример:
83 × 87 = (80 × 90) + (3 × 7) = 7200 + 21 = 7221
Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так
уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40)
и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:
41 × 44 = (40 × 45) +(1×4) = 1800 + 4 = 1804
Для 34 × 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 =
= 41), а потом прибавляем 4 × 7:
34 × 37 = (30 × 41) + (4 × 7) = 1230 + 28 = 1258

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

31

Кстати, помните загадочный пример с 104 × 109? Там использовался
тот же самый метод:
104 × 109 = (100 × 113) + (04 × 09) = 11 300 + 36 = 11 336
В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную
до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:
17 × 18 = (10 × 25) + (7 × 8) = 250 + 56 = 306
Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы
разобраться, нужно обратиться к алгебре — этим мы займемся в главе 2.
А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу
можно будет решить еще и вот так:
18 × 17 = (20 × 15) + ((–2) × (–3)) = 300 + 6 = 306
Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед
нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему
будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь,
подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным,
потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам
в конце главы.

Приблизительный подсчет в уме. Деление в уме
Давайте начнем с очень простого вопроса, на который существует очень
простой ответ, которому по какой-то неизвестной причине не учат в школах:
а) если вам нужно перемножить два трехзначных числа, сможете ли
вы сразу сказать, из скольки знаков будет состоять результат?
И чуть посложнее:
б) число из скольки знаков получится, если умножить четырехзначное
число на пятизначное?
В школе почти все время уходит на то, чтобы подбирать цифры при
умножении и делении, а не на то, чтобы подумать о том, насколько большим будет результат. Да-да, умение примерно оценивать, насколько
большим будет ответ, куда важнее умения находить его последние или
даже первые цифры. (Подумайте сами, какой практический прок от зна-

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

32
×

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Чему будет равняться сумма всех 100 чисел в таблице умножения?

ния того, что итог начинается с цифры 3, и не полезнее ли знать, к чему
он будет ближе: к 30 или 300 000 или вовсе к 3 000 000?)
Ответ на вопрос (а) — из пяти или шести цифр. Знаете почему? Минимальный возможный пример — 100 × 100 = 10 000 (здесь пять цифр).
Максимальный — 999 × 999, результат которого однозначно будет
меньше семизначного 1000 × 1000 = 1 000 000 (пусть и ненамного).
Но раз 999 × 999 меньше, значит, в ответе будет шесть цифр (давайте,
кстати, вспомним, насколько легко это посчитать: 9992 = = (1000 × 998)
+ 12 = 998 001.) Вот и вывод: результатом перемножения двух трехзначных чисел будет пяти- или шестизначное число.
Ответ на вопрос (б) — из восьми или девяти цифр. Почему? Наименьшее четырехзначное число — 1000, которое можно представить в виде
103 (единица с тремя нолями). Наименьшее пятизначное число — 10 000,
равное 104. Следовательно, наименьшим произведением 103 и 104 будет 107 — единица с семью нолями, восьмизначное число. (Откуда взялось 107? Смотрите: 103 × 104 = (10 × 10 × 10) × (10 × 10 × 10 × 10) =
= 107.) Ну а наименьшим произведением будет число, лишь ненамного
меньшее десятизначного 104 × 105 = 109, то есть девятизначное.

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

33

Такая логика приводит нас к простому правилу: умножение m-значного числа на n-значное даст число, в котором m + n или m + n – 1
знаков.
Конкретное количество цифр в ответе легче всего определить, взглянув
на начальные (крайние левые) цифры перемножаемых чисел. Если их
произведение больше или равно 10, тогда в ответе будет m + n цифр (например, в 271 × 828 произведение крайних левых цифр — 2 × 8 = 16 —
больше десятки, поэтому ответом будет шестизначное число). Если произведение крайних левых цифр меньше или равно 4, тогда в ответе будет
m + n – 1 цифр (например, 314 × 159 будет иметь пятизначный ответ).
Ну а на случаи, в которых произведение крайних левых цифр будет равняться 5, 6, 7, 8 или 9, нам придется посмотреть чуть более внимательно.
Например, произведение 222 и 444 — пятизначное, а вот 234 и 456 —
шестизначное. Но куда важнее то, что оба ответа очень близки к 100 000.
В результате у нас получается еще более простое правило, уже в отношении деления: деление m-значного числа на n-значное даст число,
в котором m – n или m – n + 1 знаков.
То есть девятизначное число, разделенное на пятизначное, даст нам
четырех- или пятизначный результат. Правило определения более конкретного ответа здесь еще проще, чем в случае с умножением. Крайние
левые цифры не нужно ни умножать, ни делить — достаточно их просто
сравнить. Если крайняя левая цифра делимого меньше крайней левой
цифры делителя, в частном будет меньшее количество цифр (m – n).
Если же крайняя левая цифра делимого больше крайней левой цифры
делителя, в частном будет больше (m – n + 1) цифр. Если же цифры обоих
чисел одинаковые, смотрим на следующие после них цифры и применяем
то же правило. Например, в результате деления 314 159 265 на 12 358 мы
получим пятизначное число, а на 62 831 — четырехзначное. Деление
161 803 398 на 14 142 даст пятизначный ответ, потому что 16 больше 14.
Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь
не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким
бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо).
Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.
Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся
на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,
34 ÷ 5 = 68 ÷ 10 = 6,8
1
123 ÷ 4,5 = 246 ÷ 9 = 82 ÷ 3 = 27
3

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

34

После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3
(мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается
до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.

Отступление
Взгляните на взаимно обратные числа для чисел от 1 до 10:
1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333...; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;
1/6 = 0,1666...; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111...; 1/10 = 0,1
Все дроби здесь либо конечны, либо цифры в них начинают повторяться
со второго знака после запятой. Единственным исключением является десятичная дробь от 1/7, повторение в которой начинается с седьмой цифры:
1/7 = 0,142857142857...
(Причина этой закономерности в том, что все другие числа от 2 до 11 делятся
на 10, 100, 1000, 9, 90 или 99, ближайший же делитель для 7 — 999 999.)
Если же записать цифры десятичного аналога 1/7 в виде круга, произойдет
чудо:

Круг одной седьмой

Что интересно, все другие дроби со знаменателем 1/7 тоже могут воссозданы с помощью бесконечного движения по этому кругу — меняться
будет только точка начала этого движения. Посмотрите сами:
1/7 = 0,142857142857...; 2/7 = 0,285714285714...;
3/7 = 0,428571428571...; 4/7 = 0,571428571428...;
5/7 = 0,714285714285...; 6/7 = 0,857142857142...

ГЛАВА НОМЕР ОДИН. МАГИЯ ЧИСЕЛ

35

Давайте закончим эту главу тем же вопросом, который мы уже задавали несколько страниц назад. Чему будет равняться сумма всех чисел
в таблице умножения? На первый взгляд звучит пугающе — так же, как
и попытка найти сумму первых ста чисел. Но знакомство со всеми описанными выше замечательными закономерностями, которые так ловко
заставляют числа танцевать, значительно повышают наши шансы легко
и красиво найти правильный ответ.
Начнем с первого ряда — посчитаем сумму всех чисел в нем. Можно —
как Гаусс, можно — с помощью формулы треугольных чисел, а можно —
путем обычного сложения:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Так, теперь второй ряд. Вот как это будет выглядеть:
2 + 4 + 6 + ... + 20 = 2 (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 2 × 55
По той же логике, 3 ряд будет равен 3 × 55. И так далее, и тому подобное, и в результате сумму всех чисел в таблице умножения можно
подсчитать так:
(1 + 2 + 3 + ... + 10) × 55 = 55 × 55 = 552
Ну а возвести в уме 55 в квадрат вы теперь можете легко и просто...
3025!

ГЛ А В А Н О М Е Р Д В А

2n + 4 – n = 2
2

Магия алгебры

Вступление с чудесами
Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве — мой отец вдруг
решил дать мне урок вычислений:
— Сын, — сказал он мне. — Алгебра — все равно что арифметика.
За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри:
2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?
— Вроде, понимаю.
— Очень хорошо, — сказал он. — А сколько тогда будет 3 + 4?
— 7, — уверенно ответил я.
— Что-то я тебя не слышу, — посетовал папа. — Можешь погромче?
— СЕМЬБЕТА!!! — заорал я.
— И ни одного ответа! — с готовностью отозвался папа. Он всегда
предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.
Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один
магический трюк — сейчас расскажу, какой.
Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно
и большее).
Шаг 2. Умножьте это число на 2.
Шаг 3. Добавьте 10.
Шаг 4. Разделите на 2.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

38

Шаг 5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число.
Уверен, получилось 5. Правильно?
Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем
фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею,
какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.
Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по
сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе
и потому, что очень часто для обозначения переменной используется
внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит
как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число
(то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:
Шаг 1:
Шаг 2:
Шаг 3:
Шаг 4:
Шаг 5:
Результат:

N
2N
2N + 10
N+5
N+5–N
5

Правила алгебры
Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше,
если к нему прибавить 5.
Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение — 3х. Мы хотим, чтобы эти две
записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение
3x = x + 5
Уберем по одному х из обеих его частей и получим
2x = 5
(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x — то же, что и 3x – 1x, то есть 2x).
Разделим обе части уравнения на 2:
x = 5/2 = 2,5
Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ
получаем, умножая 2,5 на 3.

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

39

Отступление
А вот еще один фокус, в сути которого можно легко разобраться с помощью
алгебры. Запишите любое трехзначное число, цифры в котором идут по
убывающей (например, 842 или 951). Затем запишите эти числа в обратном
порядке и вычтите второе число из первого. Какой бы ответ у вас ни получился, запишите в обратном порядке и его, а затем сложите эти два числа.
Вот пример с числом 853:
853
– 358
495

495
+ 594
1089

Попробуйте другое число. Что вышло? А то, что, если четко и правильно
выполнять все инструкции, вы всегда будете получать 1089! Как так?
Алгебра, помоги! Итак, начинаем мы с трехзначного числа abc, в котором
a > b > c. Точно так же, как и 853 = (8 × 100) + (5 × 10) + 3, число abc равняется 100a + 10b + c. Записав его справа налево, получим число cba, равное
100c + 10b + a. Вычитание дает нам
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c)
= 99a – 99c = 99(a – c)
Другими словами, нам надо умножить полученную разность на 99. А раз
в изначальном нашем числе цифры идут по убыванию, a – c даст нам как
минимум 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Следовательно, выполнив вычитание,
мы гарантированно получим
198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 или 891.
И каждое из этих чисел, если мы прибавим его к его «зеркальному» двойнику, даст
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1089
— пару, неизбежно дающую в сумме 1089.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

40
Например, нам нужно найти x в уравнении
3(2x + 10) = 90.

Наша основная задача — изолировать х, и первый шаг на пути
к этому — разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:
2x + 10 = 30.
Второй шаг — избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа,
то есть
2x = 20.
Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге
получая
x = 10.
Ну и проверим ответ, конечно — это никогда не помешает: При
x = 10 3(2x + 10) = 3(30) = 90, что верно. Интересно, есть ли у этого
уравнения другое решение? Ответ — нет, потому что любое значение х
должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему
уравнению, так что x = 10 — единственный верный ответ.
А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New
Tork Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» (The Interview)
компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал
в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы
принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько — платные просмотры
($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций.
Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой
S, количество платных просмотров — буквой R. Составим уравнение
S + R = 2 000 000.
А так как каждая транзакция по продаже — это $15 прибыли, а по
просмотру — $6, уравнение преобразуется:
15S + 6R = 15 000 000
Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S
позволяет нам преобразовать и второе уравнение:
15S + 6(2 000 000 – S) = 15 000 000.

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

41

или 15S + 12 000 000 – 6S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных
остается только S. Продолжаем упрощать:
9S + 12 000 000 = 15 000 000.
Вычтем из обеих частей 12 000 000:
9S = 3 000 000.
Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R =
= 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 ×
× 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).
Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже
использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем
не говорили. Называется оно «закон дистрибутивности» и работает
тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно
сложение и умножение. Согласно этому закону, для любых чисел a, b и с
верно следующее:
a(b + c) = ab + ac.
Это правило следует использовать при умножении однозначного числа
на двузначное, например,
7 × 28 = 7 × (20 + 8) = (7 × 20) + (7 × 8) = 140 + 56 = 196.
Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас
есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28.
С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8).
Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).
Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив
прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.

a

ab

ac

b

c

Прямоугольник, иллюстрирующий закон дистрибутивности: a(b + c) = ab + ac

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

42

Как видим, площадь прямоугольника равна a(b + c). Однако левая
часть выглядит как ab, правая — как ac, поэтому в итоге у нас получается
ab + ac. Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии,
что a, b и c — положительные величины.
Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам,
и переменным, например,
3(2x + 7) = 6x + 21
«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо
и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2x + 7.
Во втором мы разлагаем 6x + 21 на сомножители, «вытягивая» тройку
из 6x и 21.

Отступление
Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами,
с чего бы вдруг (–5) × (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых
разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина — в том, что закон
дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю,
кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим,
почему.
Допустим, мы примем тот факт, что –5 × 0 = 0, а –5 × 7 = –35. (Для этих
примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы
выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:
–5 × (–7 + 7)
Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 × 0, равное, как нам
хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) × (–7)) + (–5 × 7). Следовательно,
((–5)) × ((–7)) + (–5 × 7) = ((–5) × (–7)) – 35 = 0
А если ((–5) × (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) × (–7) = 35.
Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для
всех значений a и b будет верно следующее: (–a) × (–b) = ab.

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

43

Магия метода FOIL
Одним из самых важных и полезных следствий из закона дистрибутивности является алгебраическое правило FOIL1, согласно которому для
любых переменных a, b, c, d верно следующее:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Смотрите, как правило FOIL работает на практике: cначала мы перемножаем первые числа в (a + b)(c + d), то есть ac. Потом — внешние, то
есть ad. Затем — внутренние: bc. И наконец — последние: bd.
Давайте проиллюстрируем все это примером с конкретными числами:
23 × 45 = (20 + 3)(40 + 5)
= (20 × 40) + (20 × 5) + (3 × 40) + (3 × 5)
= 800 + 100 + 120 + 15
= 1035

Отступление
Почему работает правило FOIL? Согласно закону дистрибутивности (по отношению к части со сложением, идущей на первом месте),
(a + b)e = ae + be
А теперь вместо e подставим c + d, что даст нам
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd
Последняя часть становится возможной благодаря повторному применению
закона дистрибутивности. Если вы предпочитаете геометрически визуализированное доказательство (при условии, что
a, b, c, d — положительные величины), то
вот вам прямоугольник, площадь которого можно найти двумя различными
способами.
1

a

ac

ad

b

bc

bd

c

d

Аббревиатура слов First-Outer-Inner-Last, демонстрирующих порядок произведения математических действий и буквально означающих «первые — внешние — внутренние —
последние». — Прим. пер.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

44

С одной стороны, площадь можно высчитать с помощью (a + b)(c + d).
С другой — мы можем разбить большой прямоугольник на четыре с площадями ac, ad, bc и bd. Значит, общая площадь будет равна ac + ad + bc + bd.
Знак равенства между двумя этими подходами обеспечивает правило FOIL.

А теперь давайте посмотрим, как работает магия правила FOIL. Бросьте
две игральные кости и посмотрите таблицу, которая приведена чуть ниже.
Допустим, вы выкинули 6 и 3. На обратных сторонах костей будет, соответственно, 1 и 4.
Бросьте две игральные кости (допустим, выпало 6 и 3):
Перемножьте выпавшие числа:

6 × 3 = 18

Перемножьте числа на обратных сторонах костей:

1×4 =

Перемножьте «первое верхнее»
и «второе нижнее» числа:

6 × 4 = 24

Перемножьте «первое нижнее»
и «второе верхнее» числа:

1×3 =

Итого:

4

3
49

В нашем примере результат будет равен 49. И сколько бы вы ни бросали обычные шестигранные кости, результат будет тот же. Дело в том,
что сумма чисел на противоположных сторонах стандартной игральной
кости всегда равна 7. То есть если обозначить выпавшие числа буквами
x и y, их парами будут 7 – x и 7 – y. Алгебра переделывает нашу таблицу
таким вот образом:
Бросьте два игральные кости
(выпало x и y):
Перемножьте выпавшие числа:
Перемножьте числа
на обратных сторонах костей:

xy =

xy

(7 – x)(7 – y) = 49 – 7y – 7x + xy

Перемножьте «первое верхнее»
на «второе нижнее»:

x(7 – y) =

7x – xy

Перемножьте «первое нижнее»
на «второе верхнее»:

(7 – x)y =

7y – xy

Итого:

49

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

45

Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и –y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим,
менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые
нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.
На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения
таких, например, задач:
(x + 3)(x + 4) = x2+ 4x + 3x +12 = x2 + 7x + 12
В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется
коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) — их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то
опытом — дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем
(x + 5)(x + 7) = x2 + 12x + 35
С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот
тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что
6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.
(x + 6)(x – 2) = x2 + 4x – 12
(x + 1)(x – 8) = x2 – 7x – 8
(x – 5)(x – 7) = x2 – 12x + 35
А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:
(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = x2 + 10x + 25
(x – 5)2 = (x – 5)(x – 5) = x2 – 10x + 25
Обратите внимание, кстати, что (x + 5)2 ≠ x2 + 25: ошибку эту делают
почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,
(x + 5) (x – 5) = x2 + 5x – 5x – 25 = x2 – 25
Главное, что нужно запомнить — формула разности квадратов двух
переменных:
(x + y)(x – y) = x2 – y2

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

46

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:
A2 = (A + d)(A – d) + d2
Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d2 =
= [A2 – d2] + d2 = A2. Стало быть, это действительно для всего диапазона
значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое
в квадрат, а d — его разность с ближайшим круглым числом. Например,
чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить
972 = (97 + 3) (97 – 3) + 32
= (100 × 94) + 9
= 9409

Отступление
А вот несколько рисунков, доказывающих закон квадратичной зависимости.
На них показано, как геометрическая фигура с площадью x2 – y2 может быть
преобразована в прямоугольник с площадью (x + y)(x – y).

В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне
и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

47

алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем,
вот алгебраическая интерпретация метода сближения:
(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab
Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z2 + zb + za +
+ ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов
сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно
под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3,
b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что
43×48 = (40 + 3) (40 + 8)
= 40(40 + 3 + 8) + (3 × 8)
= (40 × 51) + (3 × 8)
= 2040 + 24
= 2064
Обратите внимание, что при сложении наши множители дают
43 + 48 = 91 — тот же результат, что и менее сложные для подсчетов
40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма
изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a +
+ b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a +
+ b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных
нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко
понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,
43 × 48 = (50 – 7)(50 – 2)
= (50 × 41) + (–7 × –2)
= 2050 + 14
= 2064

Отступление
В главе 1 мы использовали этот метод для чисел больше 100. Но он отлично
работает и с меньшими величинами, например,
96 × 97 = (100 – 4)(100 – 3)
= (100 × 93) + (–4 × –3)
= 9300 + 12
= 9312

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

48

Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь
сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать
на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем,
получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать
не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть
97 × 87 = (100 – 3)(100 – 13)
= (100 × 84) + (3 × 13)
= 8400 + 39
= 8439
Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть
меньше, а другое — чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам
нужно произвести вычитание. Например,
109 × 93 = (100 + 9) (100 – 7)
= (100 × 102) – (9 × 7)
= 10 200 – 63
= 10 137
И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7,
либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант — сложить
последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами.
Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.
218 × 211 = (200 + 18)(200 + 11)
= (200 × 229) + (18 × 11)
= 45 800 + 198
= 45 998
985 × 978 = (1000 – 15) (1000 – 22)
= (1000 × 963) + (15 × 22)
= 963 000 + 330
= 963 330

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

49

Поиски x
Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно
неизвестное (скажем, x) и обе его части — линейные (что значит, что
в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная
их сложность — никаких x2), найти x несложно. Например, чтобы решить
уравнение
9x – 7 = 47
мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить
9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.
Или вот другой пример, чуточку сложнее:
5x + 11 = 2x + 18
Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или
вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к
3x = 7
решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно
свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того,
что a ≠ 0).
Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным
уравнением (в котором на авансцене появляется x2). Самый простой
вариант квадратного уравнения :
x2 = 9
которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона
уравнения не является квадратом простого числа, вроде
x2 = 10
у нас все еще есть два решения: x = 10 = 3,16... и x = – 10 = –3,16...
В принципе, если n > 0, число n — квадратный корень из n — обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом
целого числа, n легче всего посчитать на калькуляторе.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

50

Отступление
А как насчет уравнения x2 = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет
решения: ведь не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле
существуют целых два ответа: x = 3i и x = –3i, где i — это так называемое
мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным
и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными.
(Что это за количество такое — меньше ноля?) А ведь достаточно просто
посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.

Уравнение вроде
x2 + 4x = 12
выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить — ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.
Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, — метод
разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение
превращается в
x2 + 4x – 12 = 0
И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили
о FOIL и где мы уже видели, что x2 + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит,
что наше уравнение преобразуется в
(x + 6)(x – 2) = 0
Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух
сложных множителей равно 0, — это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть
x = –6 или x = 2
что и является ответом (не забудьте проверить).
Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа:
a и b — с суммой 4 и произведением –12. Ответ — a = 6, b = –2 — поз-

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

51

воляет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте
попрактикуемся и используем метод разложения на множители x2 +
+ 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа,
которые в сумме давали бы 11, а при умножении — 24. Подходят 3 и 8,
а значит x2 + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).
А теперь взгляните на x2 + 9x = –13. Найти множители для x2 + 9x + 13
не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам
придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить
невозможно — вот, смотрите сами:
ax2 + bx+ c = 0
имеет решение
x=

–b ± b2 – 4ac
2a

Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении
x2 + 4x – 12 = 0
a = 1, b = 4, c = –12.
Значит, наша формула утверждает, что

x=

–4 ± 8
–4 ± 16 – 4(1)(–12) –4 ± 64
=
=
= –2 ± 4
2
2
2

Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера
более уместен был бы метод разложения на множители.

Отступление
Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является
метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение
x2 + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить
x2 + 4x + 4 = 16
Сделать это нужно для того, чтобы преобразовать левую часть в (x + 2)
(x + 2). Так наша задачка превращается в
(x + 2)2 = 16

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

52
Другими словами, (x + 2)2 = 42. Значит,
x + 2 = 4 или x + 2 = –4

что дает нам x = 2 или x = –6, как мы уже выяснили чуть выше.

Но для уравнения
x2 + 9x + 13 = 0
наш выбор очевиден — и это формула корней. У нас получается, что a = 1,
b = 9, а c = 13. То есть
x=

–9 ± 81 – 52
–9 ± 29
=
2a
2a

Согласитесь — в общем-то, не самый очевидный случай. По большому
счету, в математике очень немного формул, которые действительно надо
помнить, но формула корней квадратного уравнения — одна из них. Достаточно немного попрактиковаться, и вы легко обнаружите, что использовать эту формулу просто, как... дважды два.

Отступление
Почему работает формула корней квадратного уравнения? Давайте запишем
уравнение ax2 + bx + c = 0 как
ax2 + bx= –c
а потом разделим обе части на a (которое не равно 0), чтобы получить
–c
x2 + b x =
a
a
А так как x + b

2a

2

2
= x2 + b x + b 2, мы можем использовать метод дополне-

a

4a

b2

ния до полного квадрата, добавив к обеим сторонам уравнения 4a2, что даст
нам
b 2 = b2 + –c = b2 – 4ac
x+
4a2
a
4a2
2a
Извлечем квадратный корень из левой и правой частей уравнения:
x+

b
b2 – 4ac
=±
2a
2a

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

53

и в результате получим
x=

–b ± b2 – 4ac
2a

Что и требовалось доказать.

Алгебра в графиках
В XVII веке в математике произошел настоящий прорыв: французы Пьер
де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга придумали отличный
способ визуализации алгебраических уравнений (равно как и алгебраическую запись геометрических объектов).
Начнем, пожалуй, с графика простого уравнения
y = 2x + 3
Оно означает, что любое значение переменной х мы должны удвоить,
а потом прибавить к нему 3 — так у нас и получается y. В таблице ниже
приведены несколько возможных пар значений для x и y. Рядом с таблицей — график, на котором все эти значения отмечены точками, и можно
легко видеть, что все они определенным образом упорядочены. Посмотрите на координаты: (–3, 3), (–2, –1), (–1, 1) и так далее. Соединив эти
точки одной линией и уведя ее в бесконечность, мы получим то, что
называется графиком. График рядом с таблицей есть отображение уравнения y = 2x + 3.
10

x
–3
–2
–1
0
1
2
3

y
–3
–1
1
3
5
7
9

y

x
–10

10

–10
График уравнения y = 2x + 3

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

54

Добавим немного необходимой терминологии. Горизонтальная линия
на нашей картинке называется осью X, вертикальная — осью Y. Сам график составляет линия с наклоном 2, которая пересекает ось Y в точке 3.
Наклон — это степень «крутизны» линии. Наклон, равный 2, обозначает,
что каждый раз, когда x увеличивается на одну единицу, y всегда будет
увеличиваться на две (что очень хорошо видно из таблицы). Алгебраически точка пересечения с осью Y — значение y при x = 0. Геометрически же все очевидно: это точка пересечения графика с вертикальной
линией. То есть график уравнения
y = mx+ b
представляет собой линию с наклоном m, которая пересекается с осью Y
в точке b (и наоборот). Линия обычно ассоциируется с ее уравнением,
Поэтому мы можем просто сказать, что график на предыдущем рисунке —
это линия y = 2x + 3.
А вот график линий y = 2x – 2 и y = –x + 7:

10

y

5
x
–10

–5

5

10

–5

–10
Где пересекаются графики y = 2x – 2 и y = –x + 7?

Первая линия y = 2x – 2 имеет наклон 2 и пересекается с осью Y
в точке –2 (график получается параллельным линии y = 2x + 3 с полным
сдвигом вниз по вертикали на 5). Наклон второй линии y = –x + 7 равен –1, поэтому при увеличении x на единицу на ту же единицу уменьшается и y. Призовем на помощь алгебру, чтобы найти точку (x, y) пересечения этих двух линий — именно в ней значения наших двух перемен-

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

55

ных совпадут, и x мы будем искать исходя из того, что он здесь равен y.
Иными словами, нам надо решить
2x – 2 = –x + 7
Добавим к обеим частям сначала x, потом 2 и получим
3x = 9
то есть x = 3. А зная x, мы можем использовать другое уравнение, чтобы
найти y. Если y = 2x – 2, значит, y = 2(3) – 2 = 4 (а y = –x + 7 дает нам
y = –3 + 7 = 4). Значит, графики пересекаются в точке (3, 4).
Зная две точки, лежащие на одной прямой, нарисовать график в виде
целой линии становится делом техники. Немного сложнее иметь дело
с квадратичной функцией (и фигурирующим в ней x2). Самое простое
для отображения в виде графика — уравнение y = x2 (изображен ниже).
Подобные графики называются параболами.
10

y

5

x
–5

5

График уравнения y = x2

А вот график уравнения y = x2 + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2).
y
100
80
60
40
20
–5

x
5

График уравнения y = x2 + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). Масштаб оси y изменен

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

56

Обратите внимание, что, когда x = –6 или x = 2, y = 0. Это легко заметить на графике — в тех двух его местах, где парабола пересекает ось x.
И совсем не случайно, что самая нижняя ее точка располагается точно
в центре между ними — при x = –2 и y = –16. Это вершина.
С параболами мы сталкиваемся каждый день. Каждый раз, когда вы
видите движущийся по кривой предмет, будь то летящий мяч или струя
воды в фонтанчике, вы, в сущности, видите параболу (просто взгляните
на картинку чуть ниже). Свойства параболы активно используются
в устройстве фар, телескопов, спутниковых тарелок и многих других
приборов.

60

y

40

20

− 40

−20

20

40

x

− 20

− 40

Обычный питьевой фонтанчик.
Направление струи соответствует параболе y = –0,3x2 + 0,8x + 70

Еще немного терминологии. До этого все наши примеры содержали
в себе многочлены — комбинации чисел и одной переменной (скажем, x),
которая может быть возведена в положительную целую степень. Наибольшую из степеней входящего в многочлен одночлена называют степенью многочлена. Например, 3x + 7 — это (линейный) многочлен первой
степени. Многочлен второй степени, вроде x2 + 4x – 12, называется
квадратным, многочлен третьей степени (5x3 – 4x2 – 2 ) — кубическим.
Бывают многочлены и других, больших, степеней (я, правда, никогда
не слышал их специальных названий — главным образом, думаю, потому,
что не так уж и часто они встречаются. Интересно, насколько часто ис-

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

57

пользуются в профессиональной литературе термины «квартический»,
«квинтический» и т.п. многочлены? Встречаются, наверное, но я, честно
говоря, по этому поводу настроен немного скептически). А еще бывают
многочлены, в которых нет переменных (например, 17) — о таких
говорят, что они стоят в нулевой степени. Ну и последнее, что вам нужно
знать о многочленах — это то, что многочленом не может быть сочетание с бесконечным количеством чисел. Например, 1 + x + x 2 +
+ x3 + ... — не многочлен, а так называемый бесконечный ряд, о которых
мы поговорим подробнее в главе 12.
Обратите внимание, что в случае с многочленами степень, в которую
возводятся переменные, может быть выражена только положительным
целым числом — ни в коем случае не отрицательным и не дробным.
То есть если вам попадается уравнение с чем-нибудь вроде y = 1/x или
y = х , это не многочлен, потому что 1/x = x–1, а х = x1/2.
Корнями многочлена мы считаем такие значения х, при которых
многочлен равняется 0. Например, 3x + 7 имеет один корень, а именно
x = –7/3. А вот у x2 + 4x – 12 два корня: x = 2 и x = –6. А x2 + 9 корня
(в смысле, действительного корня) не имеет вообще. Обратите внимание,
что каждый многочлен степени 1 (линейный) имеет один корень в силу
того, что он пересекает ось X только в одной точке, квадратный —
не больше двух. Многочлены x2 + 1, x2 и x2 – 1 имеют соответственно
ноль, один и два корня.

Графики уравнений y = x2 + 1 и y = x2 – 1 имеют ноль и два корня соответственно.
График уравнения y = x2, приведенный выше, имеет только один корень

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

58

А вот графики двух кубических многочленов, на которых вы легко
заметите, что в обоих — максимум три корня.
10

10

y

5

5
x

x
–5

y

5

–5

5

−5

−5

−10

−10

График уравнения y = (x3 – 8)/10 = 1 (x – 2)(x2 + 2x + 4) имеет один корень,
10
а y = (x3 – 7x + 6)/2 = 1 (x + 3)(x – 1)(x – 2) — три
2

В главе 10 мы рассмотрим основную теорему алгебры, которая гласит,
что каждый многочлен, возведенный в степень n, имеет не более n корней. Более того, он может быть разложен на линейную и квадратную
части. Например,
(x3 – 7x + 6)/2 =

1
(x – 1)(x – 2)(x + 3)
2

имеет три корня (1, 2 и –3). В свою очередь,
x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
имеет только один действительный корень — при x = 2 (и еще два комплексных, но им придется подождать до главы 10). Сегодня, кстати, очень
легко можно найти график практически любой функции, просто набрав
нужное вам уравнение в своем любимом поисковике. Просто напечатайте
что-нибудь вроде y = (x^3 – 7x + 6)/2, и получится рисунок наподобие
тех, которые представлены в этой книге.
В этой главе мы научились легко находить корни любого линейного
или квадратного многочлена. А еще есть формулы для нахождения корней
многочленов третьей или четвертой степеней, но они очень-очень слож-

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

59

ные. Вывели их еще в XVI веке, а потом еще две сотни лет ведущие математики занимались поиском такого же уравнения для многочлена
пятой степени. Лучшие умы бились над этой проблемой и никак не могли
найти решения, пока в начале XIX века норвежский математик Нильс
Абель не доказал, что создать такую формулу для пятой и более высокой
степени просто-напросто невозможно. Это приводит нас к каламбуру,
который считают забавным только математики: «Почему Исаак Ньютон
не смог доказать теорему невозможности формулы для пятого порядка? —
Потому что корни с деревьев не падают!»
Примеры доказательств невозможности чего-либо мы рассмотрим
в главе 6.

Отступление
Почему x–1 = 1/x? Конкретнее, почему 5–1 = 1/5? Взгляните на такую закономерность:
53 = 125, 52 = 25, 51 = 5, 50 = ?, 5–1 = ??, 5–2 = ???
Обратите внимание, что с каждым уменьшением степени на единицу
число делится на 5, что имеет для нас смысл, если над этим задуматься. Ведь
тогда 50 = 1, 5–1 = 1/5, 5–2 = 1/25 и так далее. Настоящая же причина этого —
правило действий со степенями, согласно которому xaxb = xa+b. Лучше всего
он работает, когда a и b — положительные и целые величины. Так, x2 = x · x,
а x3 = x · x · x. Значит,
x2x3 = (x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x) = x5
Если мы хотим, чтобы правило работало при значении степени, равном 0,
необходимо, чтобы
x a+0 = x ax 0
а так как левая часть становится равна xa, этому же значению должна быть
равна правая часть, что возможно только при x0 = 1.
Желание же применить закон к отрицательным величинам вынуждает нас
признать, что
x1x–1 = x1+(–1) = x0 = 1
Разделим обе части на x и получим, что x–1 должен равняться 1/x. По той же
причине x–2 = 1/x2, x–3 = 1/x3 и т. д.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

60
Применение закона к целым величинам дает
x1/2x1/2 = x1/2 + 1/2 = x1 = x

Следовательно, умножая x1/2 на x1/2, мы получаем x, а это значит, что x1/2 =
= x (при условии, что x является положительным числом).

Вычисление Y (и Х, само собой!)
Предлагаю закончить главу тем же, с чего мы начинали — с алгебраической магии.
Шаг номер 1. Задумайте два числа от 1 до 10.
Шаг номер 2. Сложите их между собой.
Шаг номер 3. Умножьте сумму на 10.
Шаг номер 4. Прибавьте большее из загаданных чисел.
Шаг номер 5. Теперь вычтите меньшее.
Шаг номер 6. Скажите мне результат, и я назову оба загаданных вами
числа.
Хотите — верьте, хотите — нет, но одного этого достаточно, чтобы
узнать, с чего все начиналось. Например, если в результате получилось
число 126, значит, скорее всего, вы загадали 9 и 3. Даже если повторить
этот фокус несколько раз подряд, изумленная аудитория вряд ли догадается, как вы это делаете.
А секрет вот в чем. Чтобы узнать большее число, возьмите последнюю
цифру результата (в нашем случае это 6), прибавьте к предшествующему
ей числу (то есть 12) и разделите на 2. Так мы узнаем, что первое число —
(12 + 6)/2 = 18/2 = 9. Второе число можно найти, вычтя из первого (9)
последнюю цифру ответа, то есть 9 – 6 = 3.
Вот еще пара примеров — попрактиковаться. При ответе 82 большее
из загаданных чисел — (8 + 2)/2 = 5, меньшее — 5 – 2 = 3. При ответе
137 большее — (13 + 7)/2 = 10, меньшее — 10 – 7 = 3.
Как же все-таки это работает? Допустим, загаданные вами числа — это
X и Y, при этом X больше или равен Y. Согласно алгебраическим методам
и инструкциям, показанным в таблице, мы увидим, что после пятого шага
получается 10(X + Y) + (X – Y).

ГЛАВА НОМЕР ДВА. МАГИЯ АЛГЕБРЫ

Шаг 1:

61
XиY

Шаг 2:

X+Y

Шаг 3:

10(X + Y)

Шаг 4:

10(X + Y) + X

Шаг 5:

10(X + Y) + (X – Y)

Большее число:

((X + Y) + (X – Y))/2 = X

Меньшее число:

X – (X – Y) = Y

И какой от этого толк, спросите вы? Обратите внимание, что число,
получающееся после 10(X + Y) будет обязательно заканчиваться на 0,
а цифра (или цифры) перед этим нолем — сумма X + Y. Так как X и Y
у нас находятся в пределах от 1 до 10, а X больше или равен Y, разность
X – Y неизбежно будет однозначным числом (от 0 до 9). Это означает, что
последней цифрой результата будет число, равное X – Y. Например, если
вы загадывали 9 и 3, X = 9, а Y = 3. Значит, результат после пятого шага
должен начинаться с X + Y = 9 + 3 = 12, а заканчиваться X – Y = 9 – 3 = 6,
дающими вместе 126. А раз уж мы знаем X + Y и X – Y, мы можем взять
их среднее арифметическое, чтобы получить ((X + Y) + (X – Y))/2 = X.
В поисках Y мы можем посчитать ((X + Y) – (X – Y))/2 (в нашем случае —
(12 – 6)/2 = 6/2 = 3), но мне куда более легким способом кажется просто
взять большее число и вычесть из него последнюю цифру ответа (то есть
9 – 6 = 3), потому что X – (X –Y) = Y.

Отступление
Если вы хотите еще немного пощекотать нервы себе и своему зрителю, чья
рука — гарантирую вам — немедленно потянется за калькулятором, попросите его загадать любые два числа от 1 до 100. И следуйте тем же инструкциям
с одним лишь небольшим изменением: в третьем шаге попросите умножить
результат не на 10, а на 100. То есть если ваш зритель, например, начал с 42
и 17, после пятого шага у него должно получиться 5925. Ответ вы можете
составить, взяв из остатка две последние цифры и подсчитав их среднее
арифметическое. Большим числом здесь будет (59 + 25)/2 = 84/2 = 42. А чтобы
узнать меньшее, вычтите из большего две последние цифры ответа, в нашем
случае — 42 – 25 = 17, искомое число. Объяснение будет по большому счету
таким же, что и ранее — единственным исключением станет процедура после

62

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

пятого шага: ответ будет 100(X + Y) – (X – Y), где X – Y — две последние цифры
результата.
Еще один пример: если ответ получился 15 222 (то есть X + Y = 152,
а X – Y = 22), большее из загаданных чисел — это (152 + 22)/2 = 174/2 = 87,
а меньшее — 87 – 22 = 65.

ГЛ А В А Н О М Е Р Т Р И

9 =3

Магия 9

Самое магическое число
В детстве любимым моим числом была девятка: ее магия мне казалась
бесконечной, неисчерпаемой. Просто следуйте следующим инструкциям
и увидите все сами:
1. Задумайте число от 1 до 10 (или выберите большее целое число;
если хочется, можете воспользоваться калькулятором).
2. Умножьте его на 3.
3. Прибавьте 6.
4. Снова умножьте на 3.
5. Теперь на 2, если хотите.
6. Сложите между собой цифры своего числа. Если в результате у вас
получилось однозначное число, остановитесь.
7. А если двузначное, снова сложите между собой цифры своего результата.
8. Сконцентрируйтесь на ответе.
У меня стойкое ощущение, что у вас получилось 9. Правильно? Если
нет — проверьте свои вычисления.
Что такого волшебного в девятке? Именно об этом мы и поговорим
в этой главе; а еще мы заглянем в параллельное измерение, в котором
числа 12 и 3 функционально друг от друга ничем не отличаются. Первое

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

64

магическое свойство числа 9 становится явным, когда смотришь на ряд
получаемых от него произведений:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144...
Что общего между этими числами? Если вы сложите между собой
цифры каждого из них, вы гарантированно получите 9. Давайте проверим: 18 состоит из 1 + 8 = 9, 27 — из 2 + 7 = 9, а, например, 144 —
из 1 + 4 + 4 = 9. Постойте-ка, вроде есть одно исключение — 99. Сумма
его цифр — 18, но 18 — это произведение 9 и 2. Вывод, который мы
сделаем, может быть, и знаком вам по начальной школе. Чуть позже
в этой главе мы приведем его объяснение. Так вот:
Если число является произведением 9 и любого другого,
сумма составляющих его цифр будет кратна 9 (и наоборот).
Например, если цифры числа 123 456 789 в сумме дают 45 (которое
кратно 9), оно также кратно 9. А 314 156, сумма цифр которого равна 23
(которое на 9 не делится), таковым, наоборот, не является.
Чтобы понять, как это правило связано с фокусом, которым мы начали
эту главу, и в чем, собственно говоря, его суть, обратимся к алгебре.
Вы начали с определенного числа — назовем его N. После его утроения
мы получим 3N, которые после следующего шага превращаются в 3N + 6.
Повторное утроение дает нам 3(3N + 6) = 9N + 18, что равно 9(N + 2).
Если вы это удвоили, у вас будет 18N + 36 = 9(2N + 4), если нет — в результате фигурирует произведение целого числа на 9, и вы в любом
случае закончите числом, кратным 9. Сложив между собой его цифры,
вы снова получите кратное 9 число (скорее всего, 9, 18, 27 или 36), сумма
цифр которого должна опять же быть равна 9.
А вот другая разновидность того же фокуса — не менее мной любимая.
Попросите кого-нибудь вооружиться калькулятором и загадать одно из
следующих четырехзначных чисел:
3141, 2718, 2358 или 9999
Числа эти взяты не просто так: 3141 — первые четыре цифры числа 
(см. главу 8), 2718 — первые четыре цифры числа e (см. главу 10), 2358 —
цифры, соответствующие числам из последовательности Фибоначчи (см.
главу 5), 9999 — самое большое из четырехзначных чисел. Затем нужно
умножить выбранное вами число на любое трехзначное. Результат получится шести- или семизначным — и это все, что вы можете о нем знать.

ГЛАВА НОМЕР ТРИ. МАГИЯ 9

65

А теперь мысленно обведем кружком любую цифру ответа — любую,
кроме ноля (он и без того похож на кружок!). Попросите своего зрителя
назвать вам остальные цифры в любом порядке и сконцентрироваться
на неназванной, обведенной кружком. Пора оглашать ответ — но для
этого нужно приложить немного усилий.
В чем тут секрет? Начнем с того, что каждое из изначальных четырех
чисел кратно 9. А раз вы начинаете с числа, кратного 9, и умножаете его
на целое число, ответ тоже будет кратен 9. А еще сумма его цифр должна
быть кратна 9. Поэтому надо просто сложить между собой числа, которые
вам называют. Неназванная цифра — это число, которое необходимо
прибавить к результату, чтобы он стал кратным 9. Например, зритель
называет вам цифры 5, 0, 2, 2, 6 и 1. Их сумма равна 16 — до ближайшего
числа, кратного 9 — а именно, 18 — не хватает 2. Если вы слышите цифры
1, 1, 2, 3, 5, 8, дающие в сумме 20, то зритель не назвал вам 7 — остаток,
который необходимо добавить к 20, чтобы получить 27. А что, если сумма
названных вам цифр уже равна 18 — что тогда нужно угадать? Правильно, 9: вы же просили не обводить кружком 0.
Почему же цифры, составляющие числа, кратные 9, в сумме всегда
дают числа, тоже кратные 9? Посмотрите на такой пример: число 3456,
разложенное на элементы с помощью умножения на 10, выглядит как
3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6
= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6
= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6
= (число, кратное 9) + 18
= число, кратное 9
Следуя той же логике, любое число, сумма цифр которого кратна 9,
само должно быть кратно 9 (и наоборот: любое число, кратное 9, при
сложении составляющих его цифр даст нам результат, кратный 9).

Вычисление вычета по модулю 9
А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем,
например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы
можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) +
+ 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 — это 7 + 12 = 19, что чуть больше,
чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

66

прийти, сложив цифры числа 19, потом — цифры числа 10, то есть вот
какая последовательность у нас получается:
3457  19  10  1
Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9, ведь на каждом этапе вы занимаетесь
тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное
число называется цифровым корнем изначального числа. Например,
числовой корень 3457 — 1, а 3456 — 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n:
Если цифровой корень n равен 9, n кратно 9.
В ином случае цифровой корень будет равен остатку,
получаемому от деления n на 9.
Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r, получаем:
n = 9x + r
где x — целое число. Вычисление вычета по 9 — забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме
цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте
посчитаем
91 787  32  5
+ 42 864  24  6
134 651
11  2

 2
20
Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5
и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно,
что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень,
равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической
формуле:
(9x + r1) + (9y + r2) = 9(x + y) + (r1 + r2)
Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что
важно: даже если числа совпадают, это еще не значит, что ответ верный,
хотя в 90% случаев проверка результата цифровыми корнями работает

ГЛАВА НОМЕР ТРИ. МАГИЯ 9

67

безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв
местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого
не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке,
если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод
можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный
столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:
112,56
96,50
14,95
48,95
108,00
17,52
398,48

32








15
20
19
26
9
15

 6
 2
 1
 8
 9
 6
32  5

 5

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень — 5,
а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность,
потому что цифровой корень 32 — тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа,
что были у нас в позапрошлом примере:
91 787  32  5
– 42 864  24  6
48 923
–1  8

 8
26
Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень — 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1.
Но страшного в этом ничего нет — мы сделали все абсолютно правильно,
потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение
цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.
А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания
и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали
в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите — с калькулятором, хотите — без.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

68
1. Задумайте любое дву- или трехзначное число.
2. Сложите между собой его цифры.
3. Вычтите результат из задуманного числа.
4. Сложите между собой цифры полученной разности.
5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.
6. Если нечетное — на 10.
7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?
Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11,
а потом — 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 — нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали
с трехзначного числа — 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом
831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 — четное число. Дальше делаем
18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.
Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T,
само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9.
Когда мы вычитаем из загаданного числа T, мы гарантированно получаем
результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он
меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если
вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма — 11; мы вычитаем
11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным
вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 —
точно, как в наших примерах.
Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по
девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:
91 787  32  5
×
42 864  24  6
3 934 357 968
30  3

 12  3
57
При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе
метода FOIL, о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем
примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют
формы 9x + 5 и 9y + 6, где x и y — целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

ГЛАВА НОМЕР ТРИ. МАГИЯ 9

69

(9x + 5)(9y + 6) = 81xy + 54x + 45y + 30
= 9(9xy + 6x + 5y) + 30
= (число, кратное 9) + (27 + 3)
= (число, кратное 9) + 3
При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется,
но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9.
Иногда его называют «ведическим». Возьмем
12 302 ÷ 9
Представим это в следующем виде:
9 1 2 3 0 2
Продублируем первую цифру над чертой, там же — но уже над последней цифрой — напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:
R
1
9 1 2 3 0 2
А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть
ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1
и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего
частного будет 3.
R
1 3
9 1 2 3 0 2
Потом 3 + 3 = 6.
R
1 3 6
9 1 2 3 0 2
Затем 6 + 0 = 6.
1 3 6 6 R
9 1 2 3 0 2
И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.
1 3 6 6 R 8
9 1 2 3 0 2
И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже
не верится, правда? Приведем еще один пример:
31 415 ÷ 9

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

70

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:
3 4 8 9 R 14
9 3 1 4 1 5
Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом
8 + 1 = 9, и в конце — 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз
14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490
и 5 в остатке.
А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что
111 111 ÷ 9 = 12 345 с остатком 6
Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же
происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9
и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении
4821 ÷ 9, мы делаем вот что:
R
4
9 4 8 2 1
Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над
четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше
написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого — 5 + 1 = 6; в результате
получаем 535 с остатком 6 — взгляните:
1

4 3 5 R 6
9 4 8 2 1
Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее.
Попробуем 98 765 ÷ 9.
1

1

1

9 8 6 3 R 8
9 9 8 7 6 5
Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую
единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру — 8. Дальше у нас
идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6.
6 + 6 = 12 — значит, «на ум идет» уже третья единица, — считаем 12 – 9 =
= 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973
с остатком 8.

ГЛАВА НОМЕР ТРИ. МАГИЯ 9

71

Отступление
Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите
любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа
количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков,
никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:
53 ÷ 91 = 0,582417…
Если говорить конкретнее, ответ тут — 0,582417, где линия над цифрами
582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа
берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного
двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1,
считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую
половину нашего ответа, а именно — 0,582. Вторая половина — это разность,
полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем 0,582417.
Еще один пример — 78 ÷ 91. Здесь 78 × 11 = 858, то есть ответ будет начинаться с 857. Затем 999 – 857 = 142, поэтому 78 ÷ 91 = 0,857142. Это число
нам уже встречалось в главе 1, потому что 78/91 легко упрощается до 6/7.
Метод этот работает, потому что 91 × 11 = 1001. Поэтому в первом примере
53 53 × 11 583
=
=
. А так как 1/1001 = 0,000999, мы получаем повторяющуюся
91 91 × 11 1001

часть нашего ответа из 583 × 999 = 583 000 – 583 = 582 417.
91 = 13 × 7 дает нам отличный способ делить числа на 13, усложняя их,
чтобы получить в знаменателе 91. Например, 1/13 = 7/91, а так как 7 × 11 =
= 077, у нас получается
1/13 = 7/91 = 0,076923
Точно так же 2/13 = 14/91 = 0,153846, потому что 14 × 11 = 154.

Магия 10, 11, 12 и модульной арифметики
Многое из того, что мы узнали о девятке, справедливо и в отношении
других чисел. Вычисляя вычет по модулю 9, мы, по сути, заменяем числа
тем, что осталось от их деления на 9. Не думаю, что для вас это большая
новость. Каждый из нас делает это практически каждый день — с тех
самых пор, когда мы научились называть время. Допустим, часы показы-

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

72

вают ровно 8 (утра или вечера — неважно). Сколько они будут показывать
через 3 часа? А через 15 часов? А через 27? А сколько они показывали
9 часов назад? Первые числа, которые возникают в сознании — 11, 23,
35, –1, но стоит нам вспомнить, что речь идет о часах, мы понимаем, что
ответ на все эти вопросы будет один и тот же — 11 часов, ведь все заданные промежутки должны считаться от 12. Математики используют
для этого такого вот вида запись:
11  23 35 –1 (mod 12)

Какое время покажут часы через 3 часа? А через 15 часов? А через 27?
А сколько они показывали 9 часов назад?

Обобщая, мы можем сказать, что a  b (mod 12), где и a, и b отличаются
на число, кратное 12. Соответственно, a  b (mod 12), если и a, и b при
делении на 12 имеют один и тот же остаток. Иными словами, для любого
целого значения m мы говорим, что два числа a и b равны (сравнимы) по
модулю m, что обозначается как a  b (mod m) где и a, и b отличаются
на число, кратное m. По сути, это значит, что
a  b (mod m), если a = b + qm при целом значении q.
Самая интересное в таких сравнениях по модулю — что ведут они себя
абсолютно так же, как и обычные уравнения. Вот почему мы можем
пользоваться здесь модульной (модулярной) арифметикой, то есть арифметическими действиями над абсолютными значениями чисел и спокойно
их складывать, вычитать и умножать. Например, если a  b (mod m),
а с — это любое целое число, верно будет, что
a + c  b + c, а ac  bc (mod m)
Итак, разнообразые сравнения можно складывать, вычитать и умножать. Например, если a  b (mod m), а c  d (mod m), значит,
a + c  b + d, а ac  bd (mod m)

ГЛАВА НОМЕР ТРИ. МАГИЯ 9

73

Чуть более конкретно: так как 14  2, а 17  5 (mod 12), 14 × 17  2 ×
× 5 (mod 12), и это подтверждает, что 238 = 10 + (12 × 19). Следствием
этого правила является то, что мы можем возводить сравнения по модулю
в различные степени. Поэтому, если a  b (mod m), действует следующее
правило степени:
a2  b2

a3 b3

···

an  bn

(mod m)

при положительном целом значении n.

Отступление
Почему работает модульная арифметика? Например, если a  b (mod m),
а c  d (mod m), значит, a = b + pm, а c = d + qm для целых значений p и q.
Следовательно, a + c = (b + d) + (p + q)m, а a + c  b + d (mod m). Далее, применив правило FOIL, получаем
ac = (b + pm)(d + qm) = bd + (bq + pd + pqm)m
Значит, ac и bd отличаются друг от друга на число, кратное m, что приводит нас к ac  bd (mod m). Умножение соответствия a  b (mod m) на само
себя дает a2  b2 (mod m); повторение этого процесса опять-таки приводит
нас к правилу возведения в степень.

То же правило возведения в степень делает число 9 таким особенным
в десятеричной системе. Так как
10 1 (mod 9)
то, согласно правилу возведения в степень, 10n  1n = 1 (mod 9) для любого значения n. Значит, например, число 3456 соответствует
3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6
3(1) + 4(1) + 5(1) + 6 = 3 + 4 + 5 + 6 (mod 9)
А если 10  1 (mod 3), становится понятно, почему мы можем простым
сложением цифр определить, является ли число кратным 3 (или каким
будет остаток при делении его на 3). Если бы мы проводили вычисления
в другой системе — скажем, основанной на 16 (она называется шестнадцатеричной и используется в электротехнике и программировании), —

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

74

то, исходя из 16  1 (mod 15), мы могли бы простым сложением цифр
определить, является ли число кратным 15 (или 3, или 5), или найти
остаток при делении его на 15.
Но вернемся к более привычной десятеричной системе. Есть простой
способ определить, кратно ли определенное число 11. Основывается он
на том, что
10  –1 (mod 11)
Значит, 10n  (–1)n (mod 11). Следовательно, 102  1 (mod 11), 103  (–1)
(mod 11) и т. д. Число 3456, например, соответствует
3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6
–3 + 4 – 5 + 6 = 2 (mod 11)
То есть 3456 делится на 11 с остатком 2. Общее правило звучит так:
число является кратным 11 только при условии, что мы приходим к числу,
кратному 11 (например, 0, ± 11, ± 22, ...), при поочередном вычитании
и сложении цифр. Давайте попробуем разобраться, делится ли число
31 415 на 11 без остатка? Достаточно посчитать 3 – 1 + 4 – 1 + 5 = 10,
чтобы понять, что не делится, но сумма цифр следующего за ним целого
31 416 будет равна 11, поэтому 31 416 кратно 11.
Расчеты по модулю 11, кстати, используются для работы с ISBN1. Допустим, у вас есть кн